Основы мат. анализа Примеры

$y + 6 = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$y = {(2 x - 5)}^{2} - 6$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для ${(2 x - 5)}^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) - 6$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - 6$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - 6$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - 6$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - 6$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $6$ из $25$ .

$4 x^{2} - 20 x + 19$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 20$

$c = 19$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (4)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 10}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d = \frac{2 (- 5)}{4}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 19 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$e = 19 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 19 - \frac{400}{16}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Разделим $400$ на $16$ .

$e = 19 - 1 \cdot 25$

Этап 1.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 19 - 25$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $25$ из $19$ .

$e = - 6$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$ .

$4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 4 {(x - \frac{5}{2})}^{2} - 6$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 4$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - 6$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - 6)$

Этап 4