Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Выражение внутри косеканса $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ приравняем $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

Этап 5.1.5.2

Добавим $8 π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{9 π}{2}$

Этап 6

Основной период $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ находится на промежутке $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , где $\frac{π}{2}$ и $\frac{9 π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Этап 7

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ находятся в $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ и в каждой точке $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 9

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 10