Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{y^{\frac{1}{3}} - 1}{9} = 9 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3}} - 1 = 9 x$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{3}} - 9 x = 1$

Этап 3.4.2

Добавим $9 x$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{3}} = 1 + 9 x$

Этап 3.5

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Этап 3.6

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Этап 3.6.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Этап 3.6.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(1 + 9 x)}^{3}$

Этап 3.6.1.1.2

Упростим.

$y = {(1 + 9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим ${(1 + 9 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 + 3 \cdot 1^{2} (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 + 3 \cdot 1 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 1 + 3 (9 x) + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.4

Умножим $9$ на $3$ .

$y = 1 + 27 x + 3 \cdot 1 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 1 + 27 x + 3 {(9 x)}^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.6

Применим правило умножения к $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (9^{2} x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.7

Возведем $9$ в степень $2$ .

$y = 1 + 27 x + 3 (81 x^{2}) + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.8

Умножим $81$ на $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + {(9 x)}^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.9

Применим правило умножения к $9 x$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 9^{3} x^{3}$

Этап 3.6.2.1.2.10

Возведем $9$ в степень $3$ .

$y = 1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$

Этап 3.7

Упростим $1 + 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $1$ .

$y = 27 x + 243 x^{2} + 729 x^{3} + 1$

Этап 3.7.2

Перенесем $27 x$ .

$y = 243 x^{2} + 729 x^{3} + 27 x + 1$

Этап 3.7.3

Изменим порядок $243 x^{2}$ и $729 x^{3}$ .

$y = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ обратной к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{9^{3}}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = 729 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{729}) + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.2

Упростим.

Этап 5.2.3.5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.5.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 {(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.6

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9^{2}}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.7

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 243 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.8

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Вынесем множитель $81$ из $243$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 (3) (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81}) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 81 \cdot (3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{81})) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.8.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2} + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.9

Перепишем ${(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 ((x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.10

Развернем $(x^{\frac{1}{3}} - 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.11.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.11.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.3

Перепишем $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ в виде $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.4

Перепишем $- 1 x^{\frac{1}{3}}$ в виде $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.11.2

Вычтем $x^{\frac{1}{3}}$ из $- x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 (x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 (- 2 x^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.13.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 27 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.14

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.14.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 (3) (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) + 1$

Этап 5.2.3.14.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 9 \cdot (3 (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9})) + 1$

Этап 5.2.3.14.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} - 1) + 1$

Этап 5.2.3.15

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot - 1 + 1$

Этап 5.2.3.16

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x - 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Добавим $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ и $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 1$

Этап 5.2.4.1.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 1$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$

Этап 5.2.4.1.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $6 x^{\frac{1}{3}}$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ и $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1) = \frac{{(729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x + 1$