Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ не определено.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Этап 2

Поскольку $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\ln (2)$ слева, а $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\ln (2)$ справа, то $x = \ln (2)$ — вертикальная асимптота.

$x = \ln (2)$

Этап 3

Поскольку $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\ln (3)$ слева, а $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\ln (3)$ справа, то $x = \ln (3)$ — вертикальная асимптота.

$x = \ln (3)$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Этап 5

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 5.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 5.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 5.2

Поскольку показатель степени $2 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{2 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Этап 5.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Этап 5.4

Поскольку показатель степени $2 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{2 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Этап 5.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Этап 5.6

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Этап 5.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Этап 5.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $3 \cdot 0 + 2$ и $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Этап 5.7.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Этап 5.7.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Этап 5.7.2.1.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Этап 5.7.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Этап 5.7.2.1.6

Изменим порядок членов.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Этап 5.7.2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Этап 5.7.2.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Этап 5.7.2.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Этап 5.7.2.1.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Этап 5.7.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Этап 5.7.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Этап 5.7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Этап 5.7.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Этап 5.7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Этап 5.7.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Этап 5.7.2.3.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Этап 5.7.2.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{1}{3}$

Этап 7

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 8

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \ln (2), \ln (3)$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{1}{3}$

Нет наклонных асимптот

Этап 9