Основы мат. анализа Примеры

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Этап 2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} + 6 t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $t$ из $6 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Этап 2.1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ .

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $t$ из $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 2.4

Приравняем $t^{2} + 6 t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $t^{2} + 6 t + 1$ к $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ верно.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 4