Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ , а сумма — $b = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Этап 2.2.1.2

Запишем $14$ как $- 1$ плюс $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $93$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $84$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Ложь

$x > \frac{1}{5}$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Ложь

$x > \frac{1}{5}$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq \frac{1}{5}$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ в виде ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.1.1.2

Запишем $14$ как $- 1$ плюс $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Этап 4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Этап 4.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Этап 4.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 4.3.3.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 4.3.3.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 4.3.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Этап 4.4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ истинным.

$x = - 3$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Этап 6