Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x^{5} - 1$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 x^{5} - 1$ в виде уравнения.

$y = 6 x^{5} - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y^{5} - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 y^{5} - 1 = x$ .

$6 y^{5} - 1 = x$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{5} = x + 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 y^{5} = x + 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 y^{5} = x + 1$ на $6$ .

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{5}$ на $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{\sqrt[5]{6} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt[5]{6}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1 + 4}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ и $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{5}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[5]{6}}^{5}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{6}$ в виде $6^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{(6^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[5]{6}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{6^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{6^{4}}}{6}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $6$ в степень $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{1296}}{6}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ обратной к $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (6 x^{5} - 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 ((6 x^{5} - 1) + 1)}}{6}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 (6 x^{5} + 0)}}{6}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $6 x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 \cdot (6 x^{5})}}{6}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $1296$ на $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{7776 x^{5}}}{6}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $7776 x^{5}$ в виде ${(6 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{{(6 x)}^{5}}}{6}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})}^{5} - 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}$ в виде $1296 (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{1296 (x + 1)}$ в виде ${(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296 \cdot 1}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $1296$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x + 1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $1296$ из $1296 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $1296$ из $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296 (1)}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $1296$ из $1296 (x) + 1296 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Этап 5.3.3.3

Возведем $6$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{7776}) - 1$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $7776$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 (1296)}) - 1$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 \cdot 1296}) - 1$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ — обратная к $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$