Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2} + 69 x + 168$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $69 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $168$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Этап 5.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

Этап 5.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ , а сумма — $b = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Вынесем множитель $23$ из $23 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

Этап 5.1.2.1.2

Запишем $23$ как $7$ плюс $16$

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

Этап 5.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

Этап 5.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

Этап 5.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 7$ .

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Этап 5.2

Развернем $3 (2 x + 7) (x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.5

Избавимся от скобок.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.6

Избавимся от скобок.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.7

Перенесем $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.13

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.14

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.15

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.16

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

Этап 5.2.17

Умножим $21$ на $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

Этап 5.2.18

Добавим $48 x$ и $21 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} + 6 x$ .

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $63 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $63 x + 63$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 6 x + 63$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 6 x + 63$

Этап 7