Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ не определено.

$x = - 1, x = 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

Этап 6.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Этап 6.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (3 x + 2)$ .

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

Этап 6.2

Развернем $x (3 x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Этап 6.2.2

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Этап 6.2.3

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

Этап 6.2.5

Умножим $3$ на $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

Этап 6.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Этап 6.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Этап 6.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

Этап 6.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 3 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 6.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Этап 6.10

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Этап 6.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Этап 6.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Этап 6.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

Этап 6.14

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

Этап 6.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x - 1$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x - 1$

Этап 8