Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4}{3 x - 1}$ , $x = 1$ , $x = 3$

Этап 1

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Этап 1.2

Подставим уравнение $y = \frac{4}{3 x - 1}$ в $f (3)$ и $f (1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{4}{3 (3) - 1}) - (\frac{4}{3 (1) - 1})}{(3) - (1)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(3 (3) - 1) (3 (1) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1}}{3 - (1)}$ на $\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}$ .

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)} \cdot \frac{\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1}}{3 - (1)}$

Этап 2.1.2

Объединим.

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (3 - (1))}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{4}{3 (3) - 1} + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3 \cdot 3 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{4}{(3 (3) - 1) \cdot 1} + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 \cdot 1 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $3 \cdot 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3 (1) - 1}$ в числитель.

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{- 4}{3 (1) - 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем множитель $3 \cdot 1 - 1$ из $(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)$ .

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{3 (1) - 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.3.3

Умножим на $1$ .

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{(3 (1) - 1) \cdot 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{(3 (1) - 1) \cdot 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2 \cdot 4 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.4.3

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{8 + 8 \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.4.4

Умножим $8$ на $- 4$ .

$\frac{8 - 32}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.4.5

Вычтем $32$ из $8$ .

$\frac{- 24}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 24}{(9 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{- 24}{8 (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 24}{8 (3 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{- 24}{8 \cdot 2 \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.5

Умножим $8 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{- 24}{16 \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.5.2

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{- 24}{48 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 24}{48 + (9 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.7

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{- 24}{48 + 8 (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.8

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 24}{48 + 8 (3 - 1) (- (1))}$

Этап 2.5.9

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{- 24}{48 + 8 \cdot 2 (- (1))}$

Этап 2.5.10

Умножим $8 \cdot 2 (- (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{- 24}{48 + 16 (- (1))}$

Этап 2.5.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 24}{48 + 16 \cdot - 1}$

Этап 2.5.10.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{- 24}{48 - 16}$

Этап 2.5.11

Вычтем $16$ из $48$ .

$\frac{- 24}{32}$

Этап 2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 24$ .

$\frac{8 (- 3)}{32}$

Этап 2.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$\frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 4}$

Этап 2.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{4}$

Этап 2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4}$