Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{4}} = 5 x$

Этап 3.4

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(5 x)}^{4}$

Этап 3.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Этап 3.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(5 x)}^{4}$

Этап 3.5.1.1.2

Упростим.

$y = {(5 x)}^{4}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(5 x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

$y = 5^{4} x^{4}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$y = 625 x^{4}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 {(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})}^{4}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{5^{4}})$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Этап 5.2.4.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Этап 5.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Этап 5.2.4.2

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Этап 5.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (625 x^{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{{(625 x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $625 x^{4}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{625^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $625$ в виде $5^{4}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.5

Найдем экспоненту.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Этап 5.3.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Этап 5.3.3.6.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Этап 5.3.3.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.3.7

Упростим.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (625 x^{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$