Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ не определено.

$x = - 2, x = 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2}) - 8}$

Этап 8.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2} - 4)}$

Этап 8.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 8.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x + 2) (x - 2)}$

Этап 8.2

Развернем $2 (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2)}$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{2 x (x - 2) + 2 \cdot (2 (x - 2))}$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 2 \cdot (2 (x - 2))}$

Этап 8.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.5

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3}}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.12

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2}$

Этап 8.2.13

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8}$

Этап 8.2.14

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 0 - 8}$

Этап 8.2.15

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$

Этап 8.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.5

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Этап 8.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Этап 8.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{2} + \frac{4 x}{2 x^{2} - 8}$

Этап 8.10

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{2}$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{2}$

Этап 10