Основы алгебры Примеры

$9 y^{2} - 12 y + 13 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 12$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 13)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 36$ на $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3

Вычтем $468$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.3

Вычтем $468$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{2 + 3 i}{3}$

Этап 4.5

Разобьем дробь $\frac{2 + 3 i}{3}$ на две дроби.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Этап 4.6.2

Разделим $i$ на $1$ .

$y = \frac{2}{3} + i$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 36$ на $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.3

Вычтем $468$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 324$ в виде $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (324)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.7

Перепишем $324$ в виде $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.9

Перенесем $18$ влево от $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{2 - 3 i}{3}$

Этап 5.5

Разобьем дробь $\frac{2 - 3 i}{3}$ на две дроби.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- 3 i}{3}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 i$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 (1)}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 \cdot 1}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- i}{1}$

Этап 5.6.2.4

Разделим $- i$ на $1$ .

$y = \frac{2}{3} - i$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{2}{3} + i, \frac{2}{3} - i$