Основы алгебры Примеры

$(3, 3)$ , $(5, 7)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 3 \cdot 7$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 21$

Этап 2.2.2

Добавим $15$ и $21$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 36$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Этап 3.2.3

Добавим $9$ и $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Этап 3.2.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 7^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Этап 4.2.3

Добавим $25$ и $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{36}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $36$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2} \sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2} \sqrt{74}})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2 \cdot 74}})$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $74$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{148}})$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $148$ в виде $2^{2} \cdot 37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $148$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{4 (37)}})$

Этап 6.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2^{2} \cdot 37}})$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$θ = \arccos (\frac{12}{2 \sqrt{37}})$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 (\sqrt{37})})$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}})$

Этап 6.5

Умножим $\frac{6}{\sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Этап 6.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $\frac{6}{\sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}})$

Этап 6.6.2

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}})$

Этап 6.6.3

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}})$

Этап 6.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Этап 6.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}})$

Этап 6.6.6

Перепишем ${\sqrt{37}}^{2}$ в виде $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37}$ в виде $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{1}})$

Этап 6.6.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$

Этап 6.7

Найдем значение $\arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$ .

$θ = 9.4623222$