Основы алгебры Примеры

$\frac{3 z - 7}{z^{2} - 4 z - 32} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $z^{2} - 4 z - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $- 4$ .

$- 8, 4$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 4$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ на $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ на $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(3 z - 7) (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(3 z - 7) (z - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z (z - 4) - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перенесем $z$ .

$\frac{3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 7$ на $- 4$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $7 z$ из $- 12 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 1 \cdot 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.5

Развернем $(- z - 8) (z - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z (z - 8) - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Перенесем $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z \cdot z) - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6.1.1.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6.2

Вычтем $8 z$ из $8 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 0 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.6.3

Добавим $- z^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.7

Вычтем $z^{2}$ из $3 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 28 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Этап 6.8

Добавим $28$ и $64$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 92}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$