Линейная алгебра Примеры

$3 x + Y - 3 Z = - 8$ , $- 6 x - 2 y + 6 z = 16$ , $12 x + 4 y - 12 z = 31$

Step 1

Найдем $A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & - 3 \\ - 6 & - 2 & 6 \\ 12 & 4 & - 12 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 8 \\ 16 \\ 31 \end{array}]$

Step 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем матрицу, которая разделена на две части одинакового размера. Левую часть заполним элементами исходной матрицы. Правую часть заполним элементами единичной матрицы. Чтобы найти обратную матрицу, используя операции со строками, преобразуем левую часть в единичную матрицу. После окончания этого процесса матрица, обратная исходной, окажется в правой части двойной матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (6) \cdot (1) - 6 & (6) \cdot (\frac{1}{3}) - 2 & (6) \cdot (- 1) + 6 & (6) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (6) \cdot (0) + 1 & (6) \cdot (0) + 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{3}) + 4 & (- 12) \cdot (- 1) - 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 12) \cdot (0) + 0 & (- 12) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) - 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (1) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (1) - 4 & (4) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (4) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{6}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{6}) \cdot (0) + \frac{1}{3} & (\frac{1}{6}) \cdot (0) - 1 & (\frac{1}{6}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{6}) \cdot (1) - \frac{1}{6} & (\frac{1}{6}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Поскольку определитель матрицы равен нулю, обратной матрицы не существует.

Нет обратных

Step 3

Поскольку эта матрица не имеет обратной, ее нельзя решить с помощью обратной матрицы.

Нет решения