Линейная алгебра Примеры

$2 x - y - z = 7$ , $x + 2 y - 2 z = 13$ , $2 x + 3 y + z = 9$

Этап 1

Найдем $A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 13 \\ 9 \end{array}]$

Этап 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (2 \cdot 1 - 3 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (2 - 3 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$2 (2 + 6) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $2$ и $6$ .

$2 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 8 + 1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 \cdot 8 + 1 (1 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 \cdot 8 + 1 (1 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.3.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$2 \cdot 8 + 1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 8 + 1 \cdot 5 - 1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 2)$

Этап 2.1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \cdot 8 + 1 \cdot 5 - 1 (3 - 2 \cdot 2)$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 \cdot 8 + 1 \cdot 5 - 1 (3 - 4)$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$2 \cdot 8 + 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 + 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.5.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$16 + 5 - 1 \cdot - 1$

Этап 2.1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$16 + 5 + 1$

Этап 2.1.5.2

Добавим $16$ и $5$ .

$21 + 1$

Этап 2.1.5.3

Добавим $21$ и $1$ .

$22$

Этап 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 2 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + \frac{1}{2} & - 2 + \frac{1}{2} & 0 - \frac{1}{2} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (- \frac{1}{2}) & 1 - 2 (- \frac{1}{2}) & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{3}{2}) & \frac{2}{5} (- \frac{1}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 4 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (- \frac{3}{5}) & - 1 - 4 (- \frac{1}{5}) & 0 - 4 (\frac{2}{5}) & 1 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{22}{5} & - \frac{1}{5} & - \frac{8}{5} & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{22}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{22}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ \frac{5}{22} \cdot 0 & \frac{5}{22} \cdot 0 & \frac{5}{22} \cdot \frac{22}{5} & \frac{5}{22} (- \frac{1}{5}) & \frac{5}{22} (- \frac{8}{5}) & \frac{5}{22} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{3}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{3}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} + \frac{3}{5} (- \frac{1}{22}) & \frac{2}{5} + \frac{3}{5} (- \frac{4}{11}) & 0 + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{22}) & 0 + \frac{1}{2} (- \frac{4}{11}) & 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{22} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{21}{44} & - \frac{2}{11} & \frac{5}{44} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{21}{44} + \frac{1}{2} (- \frac{5}{22}) & - \frac{2}{11} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{11} & \frac{5}{44} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{22} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.4.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Этап 3

Умножим слева обе части матричного уравнения на обратную матрицу.

$([\begin{array}{c} \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 7 \\ 13 \\ 9 \end{array}]$

Этап 4

Любая матрица, умноженная на свою обратную, всегда равна $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 7 \\ 13 \\ 9 \end{array}]$

Этап 5

Умножим $[\begin{array}{c} \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ - \frac{5}{22} & \frac{2}{11} & \frac{3}{22} \\ - \frac{1}{22} & - \frac{4}{11} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 7 \\ 13 \\ 9 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{11} \cdot 7 - \frac{1}{11} \cdot 13 + \frac{2}{11} \cdot 9 \\ - \frac{5}{22} \cdot 7 + \frac{2}{11} \cdot 13 + \frac{3}{22} \cdot 9 \\ - \frac{1}{22} \cdot 7 - \frac{4}{11} \cdot 13 + \frac{5}{22} \cdot 9 \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 3 \end{array}]$

Этап 6

Упростим левую и правую части.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 3 \end{array}]$

Этап 7

Найдем решение.

$x = 3$

$y = 2$

$z = - 3$