Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} \end{array}]$

Этап 1

Запишем в виде расширенной матрицы для $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $6$ на $32.5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $0.1\overline{846153}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.3

Разделим $18$ на $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.4

Разделим $6$ на $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 1 \cdot 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $0.\overline{158730}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Разделим $30$ на $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $0.\overline{952380}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.8

Разделим $30$ на $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 1 \cdot 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $0.84745762$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.10

Разделим $30$ на $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 1 \cdot 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $0.\overline{793650}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.12

Разделим $7.5$ на $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $0.\overline{238095}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.14

Разделим $5.4$ на $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 1 \cdot 0.15254237 & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Этап 2.15

Умножим $- 1$ на $0.15254237$ .

Этап 2.16

Разделим $22.2$ на $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 1 \cdot 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.17

Умножим $- 1$ на $0.\overline{587301}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.18

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.1\overline{846153}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0.50847457}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{- 0.\overline{158730}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0}{- 0.1\overline{846153}} \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.18.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.19

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} + 0.\overline{952380} \cdot 1 & - 0.84745762 + 0.\overline{952380} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{793650} + 0.\overline{952380} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{952380} \cdot 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.19.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Этап 2.20

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} + 0.\overline{238095} \cdot 1 & - 0.15254237 + 0.\overline{238095} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{587301} + 0.\overline{238095} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{238095} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.20.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Этап 2.21

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{- 3.47054075}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{- 3.47054075}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ \frac{0}{- 3.47054075} & \frac{- 3.47054075}{- 3.47054075} & \frac{0.02519526}{- 3.47054075} & \frac{0}{- 3.47054075} \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Этап 2.21.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Этап 2.22

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 + 0.80831315 \cdot 0 & - 0.80831315 + 0.80831315 \cdot 1 & - 0.38259007 + 0.80831315 \cdot - 0.00725975 & 0 + 0.80831315 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.22.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.38845822 & 0 \end{array}]$

Этап 2.23

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{- 0.38845822}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{- 0.38845822}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{- 0.38845822}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} \end{array}]$

Этап 2.23.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.24

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 + 0.00725975 \cdot 0 & 1 + 0.00725975 \cdot 0 & - 0.00725975 + 0.00725975 \cdot 1 & 0 + 0.00725975 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.24.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.25

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.25.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & - 2.75423728 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & 0.8\overline{597883} - 0.8\overline{597883} \cdot 1 & 0 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.25.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.26

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.26.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2.75423728 \cdot 0 & - 2.75423728 + 2.75423728 \cdot 1 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.26.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 5

Запишем в виде множества решений.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$