Линейная алгебра Примеры

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

Этап 1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Этап 2

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 3

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$P_{1}$ представляет собой $y - 3 x = 2$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Этап 3.2

$P_{2}$ представляет собой $x - 4 y = 9$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Этап 3.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Избавимся от скобок.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Этап 3.4.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$- 7 + 0$

Этап 3.4.3.2

Добавим $- 7$ и $0$ .

$- 7$

Этап 4

Затем составим набор параметрических уравнений $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ , используя начало координат $(0, 0, 0)$ для точки $(p, q, r)$ и значения из вектора нормали $- 7$ для получения значений $a$ , $b$ и $c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 5

Подставим выражение для $x$ , $y$ и $z$ в уравнение для $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Этап 6

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим противоположные члены в $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вычтем $3 \cdot t$ из $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Этап 6.1.1.2

Добавим $0$ и $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Этап 6.1.2

Умножим $t$ на $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Этап 6.1.3

Вычтем $4 t$ из $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- 7 t = 9$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- 7 t = 9$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{9}{7}$

Этап 7

Решим параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ , используя значение $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Этап 7.1.2

Избавимся от скобок.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Этап 7.1.3

Упростим $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Умножим $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Этап 7.1.3.1.2

Объединим $3$ и $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Этап 7.1.3.1.3

Умножим $3$ на $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Этап 7.1.3.2

Добавим $0$ и $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Этап 7.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Этап 7.2.3

Упростим $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $- \frac{9}{7}$ на $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $\frac{9}{7}$ из $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Этап 7.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Этап 7.3.2

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Этап 7.3.3

Упростим $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $0 (- \frac{9}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Этап 7.3.3.1.2

Умножим $0$ на $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Этап 7.3.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$z = 0$

Этап 7.4

Решенные параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Этап 8

Использование значений, вычисленных для $x$ , $y$ и $z$ , найденная точка пересечения: $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$