Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Развернем $(8 - λ) (2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.1

Умножим $8$ на $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.2.2

Вычтем $2 λ$ из $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Этап 1.5.2.1.3

Умножим $- (- 3 \cdot 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.3.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

Этап 1.5.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

Этап 1.5.2.2

Добавим $16$ и $18$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

Этап 1.5.2.3

Изменим порядок $- 10 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 34$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $34$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.3

Вычтем $136$ из $100$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Этап 1.7.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$λ = 5 \pm 3 i$

Этап 1.7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 5 - 3 i$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 5 - 3 i$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 5 - 3 i$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.5.3

Умножим $- 5 - 3 i$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.5.4

Умножим $- 5 - 3 i$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $5$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $- 3$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Вычтем $5$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 5 + 3 i$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.5

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $- 5 + 3 i$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.5.2

Умножим $- 5 + 3 i$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим $- 5 + 3 i$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.5.4

Умножим $- 5 + 3 i$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $5$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $- 3$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Вычтем $5$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$