Конечная математика Примеры

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.2

Развернем $(x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 2$ и $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.3.1.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.1.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Этап 2.2

Упростим $2 \log (x - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Этап 2.3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Этап 2.4.1.3

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 2.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 2.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.4.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Этап 2.4.1.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 2.4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Этап 2.4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Этап 2.4.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Этап 2.4.3.2.2

Добавим $- 2 x + 1$ и $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Этап 2.4.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 4 - 1$

Этап 2.4.4.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Этап 2.4.5

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 2.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 2.4.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 2.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = - 2, 2, 1$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.8.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $0.48$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $- 7$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.10.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.10.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.4.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 2$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Этап 4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > \frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > \frac{5}{2}$

Интервальное представление:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Этап 6