Конечная математика Примеры

$y = - \frac{4}{5} x + 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{4}{5} y + 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{4}{5} y + 2 = x$ .

$- \frac{4}{5} y + 2 = x$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $y$ и $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{5} + 2 = x$

Этап 2.2.2

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$- \frac{4 y}{5} + 2 = x$

Этап 2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4 y}{5} = x - 2$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Упростим $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 y}{5}$ в числитель.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $- \frac{5}{4} (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Этап 2.5.2.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Этап 2.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2$

Этап 2.5.2.1.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 2.5.2.1.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.5.2.1.1.3.4

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 2.5.2.1.1.3.5

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Этап 2.5.2.1.1.4

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Этап 2.5.2.1.1.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ обратной к $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4 \cdot x}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{4 x}{5} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{4 x}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1))}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 \cdot (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + 1)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + \frac{5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (\frac{- 2 x + 5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.2

Объединим $10$ и $\frac{- 2 x + 5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10 (- 2 x + 5)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 (1)}}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 \cdot 1}}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{2 (- 2 x + 5)}{1}}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.3.2

Разделим $2 (- 2 x + 5)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{4} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{- 2 x + 5}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x + 5) + 5}{2}$

Этап 4.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Этап 4.2.5.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Этап 4.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 4.2.6.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) + 2$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.2.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 (- 2)}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 \cdot - 2}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Этап 4.3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Этап 4.3.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Этап 4.3.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - 2 + 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ — обратная к $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$