Конечная математика Примеры

$e^{2 x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = e^{2 y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\ln (e^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Этап 2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Этап 2.4

Разделим каждый член $2 y = \ln (x)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (x)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ обратной к $f (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{2 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (e^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x \ln (e)$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Этап 4.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ — обратная к $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$