Конечная математика Примеры

$y = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$

Этап 1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.2

Умножим $9$ на $- 2$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из ${(x - 2)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из $- 6 {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6 + 9 x - 18 = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2 - 6) + 9 x - 18 = 0$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x - 18 = 0$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $9$ из $9 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x) - 18 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Вынесем множитель $9$ из $- 18$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.3.3.3

Вынесем множитель $9$ из $9 x + 9 \cdot - 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3.4

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2} (x - 8)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + 9 (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3.4.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $9 (x - 2)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9 = 0$

Этап 1.2.3.4.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8) + 9) = 0$

Этап 1.2.3.5

Развернем $(x - 2) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x (x - 8) - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Этап 1.2.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Этап 1.2.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Этап 1.2.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Этап 1.2.3.6.1.2

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Этап 1.2.3.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x + 16 + 9) = 0$

Этап 1.2.3.6.2

Вычтем $2 x$ из $- 8 x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 16 + 9) = 0$

Этап 1.2.3.7

Добавим $16$ и $9$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Этап 1.2.3.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.8.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 1.2.3.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 1.2.3.8.3

Перепишем многочлен.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 1.2.3.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.6

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим ${(x - 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2, 5$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(2, 0), (5, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 (0 - 2)$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5

Упростим ${((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = {(- 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y = - 8 - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5.1.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5.1.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = - 8 - 6 \cdot 4 + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $- 6$ на $4$ .

$y = - 8 - 24 + 9 ((0) - 2)$

Этап 2.2.5.1.6

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 8 - 24 + 9 \cdot - 2$

Этап 2.2.5.1.7

Умножим $9$ на $- 2$ .

$y = - 8 - 24 - 18$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$y = - 32 - 18$

Этап 2.2.5.2.2

Вычтем $18$ из $- 32$ .

$y = - 50$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 50)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(2, 0), (5, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 50)$

Этап 4