Конечная математика Примеры

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Этап 3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ умножим на $(x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 4.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$9 = y (x^{2} - 1)$

Этап 4.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

Этап 4.3.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$9 = y x^{2} - y$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y x^{2} - y = 9$ .

$y x^{2} - y = 9$

Этап 5.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} = 9 + y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y x^{2} = 9 + y$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y x^{2} = 9 + y$ на $y$ .

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

Этап 5.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

Этап 5.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ в виде $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Этап 5.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.5.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Этап 5.5.5.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Этап 5.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Этап 5.5.5.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

Этап 5.5.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

Этап 5.5.7

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$