Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ к $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 25 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $- 30$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Этап 2.1.5.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Этап 2.1.5.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Разложим $- x^{3} - 5 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 2.1.6.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Этап 2.1.6.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Этап 2.1.6.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Этап 2.1.6.1.3.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Этап 2.1.6.1.3.5

Добавим $1$ и $5$ .

$6 - 6$

Этап 2.1.6.1.3.6

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 2.1.6.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Этап 2.1.6.1.5

Разделим $- x^{3} - 5 x - 6$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Этап 2.1.6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Этап 2.1.6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 2.1.6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Этап 2.1.6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Этап 2.1.6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Этап 2.1.6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Этап 2.1.6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Этап 2.1.6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Этап 2.1.6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 6$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Этап 2.1.6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Этап 2.1.6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + x - 6$

Этап 2.1.6.1.6

Запишем $- x^{3} - 5 x - 6$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.10

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.11

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Этап 2.1.13.2

Умножим $5$ на $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Этап 2.1.14

Вычтем $5 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Этап 2.1.15

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Перепишем $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Этап 2.1.15.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Этап 2.1.15.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Этап 2.1.15.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 2.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 1$ (кратно $1$ )

$x = 6$ (кратно $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (кратно $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (кратно $1$ )

$x = - 1$ (кратно $1$ )

$x = 6$ (кратно $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (кратно $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (кратно $1$ )

Этап 3