Конечная математика Примеры

$f (x) = \sqrt{14 - 3 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{14 - 3 x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{14 - 3 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{14 - 3 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{14 - 3 y} = x$ .

$\sqrt{14 - 3 y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{14 - 3 y}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14 - 3 y}$ в виде ${(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(14 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(14 - 3 y)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$14 - 3 y = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y = x^{2} - 14$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 3 y = x^{2} - 14$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 3 y = x^{2} - 14$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{x^{2}}{- 3} + \frac{- 14}{- 3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{x^{2}}{- 3} + \frac{- 14}{- 3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 3} + \frac{- 14}{- 3}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 14}{- 3}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{14 - 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = - \frac{{(\sqrt{14 - 3 x})}^{2}}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- {(\sqrt{14 - 3 x})}^{2} + 14}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем ${\sqrt{14 - 3 x}}^{2}$ в виде $14 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{14 - 3 x}$ в виде ${(14 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- {({(14 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}{3}$

Этап 5.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- {(14 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}{3}$

Этап 5.2.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- {(14 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} + 14}{3}$

Этап 5.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- {(14 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} + 14}{3}$

Этап 5.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- (14 - 3 x) + 14}{3}$

Этап 5.2.4.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- (14 - 3 x) + 14}{3}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- 1 \cdot 14 - (- 3 x) + 14}{3}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $14$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- 14 - (- 3 x) + 14}{3}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{- 14 + 3 x + 14}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $- 14 + 3 x + 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 14$ и $14$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{14 - 3 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 - 3 (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3})}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 - 3 (- \frac{x^{2}}{3}) - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 - 3 \frac{- x^{2}}{3} - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + 3 (- 1) (\frac{- x^{2}}{3}) - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + 3 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{3}) - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 - 1 (- x^{2}) - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + 1 x^{2} - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + x^{2} - 3 (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + x^{2} + 3 (- 1) (\frac{14}{3})}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + x^{2} + 3 \cdot (- 1 (\frac{14}{3}))}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + x^{2} - 1 \cdot 14}$

Этап 5.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Умножим $- 1$ на $14$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{14 + x^{2} - 14}$

Этап 5.3.7.2

Вычтем $14$ из $14$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.7.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{14 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{14}{3}$