Конечная математика Примеры

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $0$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ , $x$ в заданной точке.

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

Этап 2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Сократим общий множитель.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.5.3

Перепишем это выражение.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6

Перемножим экспоненты в ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.2

Умножим $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.2.1

Умножим $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.1

Развернем $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{5}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.4

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.2

Вычтем $5$ из $25$ .

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.3

Добавим $- 5 \sqrt{5}$ и $5 \sqrt{5}$ .

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.3.2.4

Добавим $20$ и $0$ .

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.6.4

Разделим $20$ на $20$ .

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.1.1.7

Упростим.

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

Этап 2.3.2.1.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Этап 2.3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$