Конечная математика Примеры

$\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1

Упростим $\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{3}{5 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{6 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{3}{5 x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{5 x \cdot 6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Этап 1.3.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{1}{6 x}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{6 x \cdot 5} > \frac{2}{3}$

Этап 1.3.4

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 6 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{18 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Этап 1.5.2

Добавим $18$ и $5$ .

$\frac{23}{30 x} > \frac{2}{3}$

Этап 2

Умножим обе части на $30 x$ .

$\frac{23}{30 x} (30 x) = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{23}{30 x} (30 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.1.1.2

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $30$ из $30 x$ .

$30 \frac{23}{30 (x)} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$23 = \frac{2}{3} (30 x)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (30 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $30 x$ .

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$23 = 2 (10 x)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $10$ на $2$ .

$23 = 20 x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $20 x = 23$ .

$20 x = 23$

Этап 4.2

Разделим каждый член $20 x = 23$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $20 x = 23$ на $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{23}{20}$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{23}{30 x} - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{23}{30 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$30 x = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $30 x = 0$ на $30$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $30 x = 0$ на $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{30}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $30$ .

$x = 0$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{23}{20}$

$x > \frac{23}{20}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{5 (- 2)} + \frac{1}{6 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 0.38\overline{3}$ не больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{23}{20}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{23}{20}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{5 (1)} + \frac{1}{6 (1)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.2.3

Левая часть $0.7\overline{6}$ больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{23}{20}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{23}{20}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{5 (4)} + \frac{1}{6 (4)} > \frac{2}{3}$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.191\overline{6}$ не больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{23}{20}$ Истина

$x > \frac{23}{20}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{23}{20}$ Истина

$x > \frac{23}{20}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{23}{20}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \frac{23}{20}$

Интервальное представление:

$(0, \frac{23}{20})$

Этап 10