Конечная математика Примеры

$f (t) = 2 x^{2}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Вычислим $f (a) = f (0) = 2 {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4

Вычислим $f (b) = f (2) = 2 {(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 2}$

Этап 4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (2) = 2^{3}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8$

Этап 5

Так как $0$ находится в интервале $[0, 8]$ , решим уравнение в отношении $x$ , приравняв $y$ к $0$ в $y = 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} = 0$ .

$2 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[0, 8]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[0, 2]$ .

Корни на интервале $[0, 2]$ расположены в $x = 0$ .

Этап 7