Конечная математика Примеры

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x - i y}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{x - i y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ на $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2}{x - i y}$ на $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{(x - i y) {(1 - i)}^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(1 + i)}^{2}$ в виде $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.2

Развернем $(1 + i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 (1 + i) + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{(1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{(1 + i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i^{1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + i + i + i^{1 + 1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{2}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(1 + i + i - 1) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{(0 + i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.3

Добавим $0$ и $i$ .

$\frac{(i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.3.4

Добавим $i$ и $i$ .

$\frac{2 i (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i x + 2 i (- i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.5

Умножим $2 i (- i y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 i x - 2 i (i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.5.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.5.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 i x - 2 i^{1 + 1} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 i x - 2 i^{2} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 i x - 2 \cdot - 1 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.6.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.7

Перепишем ${(1 - i)}^{2}$ в виде $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 ((1 - i) (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.8

Развернем $(1 - i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 (1 - i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.2

Умножим $- i$ на $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4

Умножим $- i (- i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1}))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{1 + 1})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.4.6

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - 1)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (0 - i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.3

Вычтем $i$ из $0$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.9.4

Вычтем $i$ из $- i$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 i x + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.11

Вынесем множитель $2$ из $2 i x + 2 y - 4 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 i x$ .

$\frac{2 (i x) + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.11.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 i$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.11.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (i x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (i x + y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Этап 5.11.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (i x + y) + 2 (- 2 i)$ .

$\frac{2 (i x + y - 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$