Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Перенесем $2$ влево от $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.6.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.6.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4.6.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y y' + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2 y y'$ и $0$ .

$2 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.7

Изменим порядок $2 x y$ и $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Этап 5.3.1.3

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Этап 5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Этап 5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Этап 5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Этап 5.3.1.4.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Этап 5.3.1.4.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Этап 5.3.1.4.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Этап 5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Этап 5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.1.1

Перенесем $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Этап 5.3.1.6.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Этап 5.3.1.6.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Этап 5.3.1.6.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Этап 5.3.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Этап 5.3.1.6.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Этап 5.3.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Этап 5.3.2

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.3

Добавим $y' x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.4.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ на $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ на $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x y + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 5.3.5.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$