Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{x}{x + 1})}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 1})}^{5})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x + 1}$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6.5

Объединим $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ и $5$ .

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{5}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на ${(x + 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2 + 4}}$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$