Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

Этап 2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Этап 5

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $2 x$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 7.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

Этап 7.1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

Этап 7.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

Этап 7.1.3.5

Добавим $2 π$ и $2 π$ .

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.2.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ приблизительно равно $3.7320508$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.4

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ приблизительно равно $0.26794919$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.3

Чтобы записать $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.4

Объединим $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

Этап 7.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

Десятичная форма:

$1.55487441 \dots$