Математический анализ Примеры

$\int_{- π}^{π} (π^{2} + 2 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- π}^{π} π^{2} + 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- π}^{π} π^{2} d x + \int_{- π}^{π} 2 x d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$π^{2} x]_{- π}^{π} + \int_{- π}^{π} 2 x d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 \int_{- π}^{π} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- π}^{π})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$π^{2} x]_{- π}^{π} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- π}^{π})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $π^{2} x$ в $π$ и в $- π$ .

$(π^{2} π) - π^{2} (- π) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- π}^{π})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $π$ и в $- π$ .

$π^{2} π - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $π^{2}$ на $π$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Умножим $π^{2}$ на $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$π^{2} π^{1} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π^{2 + 1} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$π^{3} - π^{2} (- π) + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π^{3} + 1 π^{2} π + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$π^{3} + π^{2} π + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $π^{2}$ на $π$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.4.1

Умножим $π^{2}$ на $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.4.1.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$π^{3} + π^{2} π^{1} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π^{3} + π^{2 + 1} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$π^{3} + π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Добавим $π^{3}$ и $π^{3}$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- π)}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- π$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- (π))}^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Применим правило умножения к $- (π)$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} π^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{1 π^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 π^{3} + 2 \frac{π^{2} - π^{2}}{2}$

Этап 6.2.3.11

Вычтем $π^{2}$ из $π^{2}$ .

$2 π^{3} + 2 (\frac{0}{2})$

Этап 6.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 π^{3} + 2 \frac{2 (0)}{2}$

Этап 6.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 π^{3} + 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$2 π^{3} + 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$2 π^{3} + 2 (\frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 π^{3} + 2 \cdot 0$

Этап 6.2.3.13

Умножим $2$ на $0$ .

$2 π^{3} + 0$

Этап 6.2.3.14

Добавим $2 π^{3}$ и $0$ .

$2 π^{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 π^{3}$

Десятичная форма:

$62.01255336 \dots$

Этап 8