Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $θ$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $\sqrt{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.2.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{\frac{2^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{0}{\frac{2}{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1} = lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = 2 θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $\sqrt{2} \cos (θ) - 1$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $\sqrt{2}$ является константой относительно $θ$ , производная $\sqrt{2} \cos (θ)$ по $θ$ равна $\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Этап 1.3.8.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- 1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + 0}$

Этап 1.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Добавим $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ и $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ))}$

Этап 1.3.10.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{- \sqrt{2} \sin (θ)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{- 2}{\sqrt{2}}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 θ)}{- \sin (θ)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Этап 2.5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (θ)}$

Этап 2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Этап 3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.5.1.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.5.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \sqrt{2} \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sqrt{2} (- \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 4.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{2} (- (1 \frac{2}{\sqrt{2}}))$

Этап 4.9

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$- \sqrt{2} (- \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ в числитель.

$- \sqrt{2} \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.10.2

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.10.3

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.10.4

Перепишем это выражение.

$- - 2$

Этап 4.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2$