Математический анализ Примеры

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Этап 2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Этап 5.3.2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Этап 5.3.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Этап 5.3.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Этап 5.3.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Этап 5.3.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Этап 5.3.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Этап 5.3.2.1.3.6.5

Упростим.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Этап 5.3.2.1.4

Объединим $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ и $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$