Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{4 x^{8} + 7 x^{5}}}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $4 x^{8} + 7 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $4 x^{8}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3}) + 7 x^{5}}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $7 x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3}) + x^{5} \cdot 7}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (4 x^{3}) + x^{5} \cdot 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{5} (4 x^{3} + 7)}}$

Этап 1.2

Перепишем $x^{5} (4 x^{3} + 7)$ в виде ${(x^{2})}^{2} (x (2^{2} x^{3} + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $x^{4}$ за скобки.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{x^{4} x (4 x^{3} + 7)}}$

Этап 1.2.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x (4 x^{3} + 7)}}$

Этап 1.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x (2^{2} x^{3} + 7)}}$

Этап 1.2.4

Добавим круглые скобки.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{\sqrt{{(x^{2})}^{2} (x (2^{2} x^{3} + 7))}}$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{x^{2} \sqrt{x (2^{2} x^{3} + 7)}}$

Этап 1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{4} - 7}{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Этап 3.1.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{- 7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Этап 3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{2} \sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{4}}}$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{x (4 x^{3}) + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x \cdot x^{3} + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.1.3.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x \cdot x^{3} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 (x^{3} x) + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 (x^{3} x^{1}) + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{3 + 1} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 \cdot x}}{x^{2}}}$

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{4}}}{\frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 3.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 3.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 5

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{4} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 4 x^{3} + 7 x}}{x^{2}}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 4 x^{3} + x \cdot 7}}{x^{2}}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{3}) + x \cdot 7$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{3} + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x^{4}}}}{1}}$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{3} + 7)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{1}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 9.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} + 7}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 10

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 11.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 12

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 13

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 13.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{\frac{4 + 7 \cdot 0}{1}}}{1}}$

Этап 13.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Разделим $4 + 7 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\frac{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}{1}}$

Этап 13.3.2

Разделим $\sqrt{4 + 7 \cdot 0}$ на $1$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{2 + 0}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.4.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + 0}}$

Этап 13.3.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{4}}$

Этап 13.3.4.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 13.3.4.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{2}$

Этап 13.3.5

Разделим $2$ на $2$ .

$1$