Математический анализ Примеры

$y = {\cos (x)}^{x}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({\cos (x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

Этап 3.2.6.2

Умножим $\ln (\cos (x))$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.2.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.2.3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{x}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.3.1

Разделим дроби.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.3.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

Этап 3.2.7.3.3

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.1.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $x$ .

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.3

Объединим ${\cos (x)}^{x}$ и $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{x}$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим на $1$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.4.2.4

Разделим ${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ на $1$ .

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ .

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$