Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{9}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{9}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$

Этап 5.2

Каждый член в $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ на $3$ .

$\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{3}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 \cdot 3$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0$ на $3$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 5.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (3)}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (3) - 2}{3}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 - 2}{3}$

Этап 9.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot {(3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = 3 - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Этап 11.2.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из ${(3)}^{2}$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) - (3) + 3$

Этап 11.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) - (3) + 3$

Этап 11.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (3) = 3 - 1 \cdot 3 - (3) + 3$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3) = 3 - 3 - (3) + 3$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3) = 3 - 3 - 3 + 3$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = 0 - 3 + 3$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f (3) = - 3 + 3$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (3) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (- 1)}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (- 1) - 2}{3}$

Этап 13.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 - 2}{3}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{- 4}{3}$

Этап 13.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3}$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{9} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{3})) - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.4.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{3})) - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{3}) - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{3}) - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - (- 1) + 3$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 + 3$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 3$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + 1 + 3$

Этап 15.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 3$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + 3$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + 3$

Этап 15.2.2.6

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3}{1}$

Этап 15.2.2.7

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 3 \cdot 9}{9}$

Этап 15.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 27}{9}$

Этап 15.2.4.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 9 + 27}{9}$

Этап 15.2.4.3

Добавим $- 4$ и $9$ .

$f (- 1) = \frac{5 + 27}{9}$

Этап 15.2.4.4

Добавим $5$ и $27$ .

$f (- 1) = \frac{32}{9}$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $\frac{32}{9}$ .

$y = \frac{32}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$ .

$(3, 0)$ — локальный минимум

$(- 1, \frac{32}{9})$ — локальный максимум

Этап 17