Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (2 θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin^{2} (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{1 - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 1.1.3.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок множителей в $4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.9

По правилу суммы производная $1 - \sin^{2} (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.11

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- \sin^{2} (θ)$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 1.3.11.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Этап 1.3.11.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Этап 1.3.11.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Этап 1.3.11.3

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))}$

Этап 1.3.11.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Этап 1.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

Вычтем $2 \sin (θ) \cos (θ)$ из $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Этап 1.3.12.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.6.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\cos (π) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 \frac{- \cos (0) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.5.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.5.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.2.7.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Этап 3.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \frac{0}{- 0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 3.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 3.1.3.6.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \cos (2 θ)$ и $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.4

Возведем $\cos (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.5

Возведем $\cos (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{{\cos (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.11

Перенесем $2$ влево от $\cos^{2} (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.12.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.12.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\sin (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.14

Возведем $\sin (2 θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.17

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.18

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.20

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.21

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- \cos (θ) \sin (θ)$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]}$

Этап 3.3.22

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.23

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.24

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.25

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.27

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Этап 3.3.28

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \sin (θ))}$

Этап 3.3.29

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin (θ))}$

Этап 3.3.30

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}$

Этап 3.3.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})}$

Этап 3.3.32

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))}$

Этап 3.3.33

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) - - 1 \sin^{2} (θ)}$

Этап 3.3.33.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + 1 \sin^{2} (θ)}$

Этап 3.3.33.2.2

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Этап 3.3.33.3

Изменим порядок $- \cos^{2} (θ)$ и $\sin^{2} (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 3.3.33.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (θ)$ и $b = \cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Этап 3.3.33.5

Развернем $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Этап 3.3.33.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Этап 3.3.33.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.6

Объединим противоположные члены в $\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.6.1

Изменим порядок множителей в членах $\sin (θ) (- \cos (θ))$ и $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.6.2

Добавим $- \cos (θ) \sin (θ)$ и $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + 0 + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.6.3

Добавим $\sin (θ) \sin (θ)$ и $0$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.7.1

Умножим $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.7.1.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.1.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.3

Умножим $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.33.7.3.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Этап 3.3.33.7.3.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Этап 3.3.33.7.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.33.7.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (2 θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.8

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (2 θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.12

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.13

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Этап 4.14

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ))}^{2}}$

Этап 4.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 5.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 5.3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 5.4

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2 \cos^{2} (π) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.2

$2 \frac{2 {(- \cos (0))}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.7.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (π)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (0)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0^{2}}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.11

Умножим $- 2$ на $0$ .

$2 \frac{2 + 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.1.12

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \frac{2}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$2 \frac{2}{1^{2} - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{2}{1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Этап 6.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Этап 6.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0}$

Этап 6.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \frac{2}{1 + 0}$

Этап 6.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (\frac{2}{1})$

Этап 6.3

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \cdot 2$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4$