Математический анализ Примеры

$f (x) = x (x - 4)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x (x - 4) d x$

Этап 3

Умножим $x (x - 4)$ .

$\int x \cdot x + x \cdot - 4 d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + x \cdot - 4 d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x \cdot - 4 d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + x \cdot - 4 d x$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 4 d x$

Этап 4.5

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\int x^{2} - 4 x d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 4}{2} x^{2} + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 2}{1} x^{2} + C$

Этап 9.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x (x - 4)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + C$