Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{9 x^{4} + 7 x^{3}}}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $9 x^{4} + 7 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $9 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x) + 7 x^{3}}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $7 x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x) + x^{3} \cdot 7}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (9 x) + x^{3} \cdot 7$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{3} (9 x + 7)}}$

Этап 1.2

Перепишем $x^{3} (9 x + 7)$ в виде $x^{2} (x (3^{2} x + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} x (9 x + 7)}}$

Этап 1.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} x (3^{2} x + 7)}}$

Этап 1.2.3

Добавим круглые скобки.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} (x (3^{2} x + 7))}}$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{x \sqrt{x (3^{2} x + 7)}}$

Этап 1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 x^{2} - x}{x \sqrt{x (9 x + 7)}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.1.2

Разделим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{x \sqrt{x (9 x + 7)}}{x^{2}}}$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x (9 x + 7)}}{x}}$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x (9 x) + x \cdot 7}}{x}}$

Этап 3.2.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x \cdot x + x \cdot 7}}{x}}$

Этап 3.2.1.3.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x \cdot x + 7 \cdot x}}{x}}$

Этап 3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 (x \cdot x) + 7 \cdot x}}{x}}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 \cdot x}}{x}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 6 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Этап 3.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x}}{x}}$

Этап 5

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 9 x + 7 x}}{x}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 9 x + x \cdot 7}}{x}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (9 x) + x \cdot 7$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (9 x + 7)}}{x}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x^{2}}}}{1}}$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x \cdot x}}}{1}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (9 x + 7)}{x \cdot x}}}{1}}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 - 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{1}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 9.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 9.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 7}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 10

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.1.2

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + \frac{7}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 11.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 12

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 13

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 13.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{\frac{9 + 7 \cdot 0}{1}}}{1}}$

Этап 13.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Разделим $9 + 7 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{6 - 0}{\frac{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}{1}}$

Этап 13.3.2

Разделим $- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}$ на $1$ .

$\frac{6 - 0}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{6 + 0}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9 + 7 \cdot 0}}$

Этап 13.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.4.1

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9 + 0}}$

Этап 13.3.4.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{6}{- \sqrt{9}}$

Этап 13.3.4.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{6}{- \sqrt{3^{2}}}$

Этап 13.3.4.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6}{- 1 \cdot 3}$

Этап 13.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6}{- 3}$

Этап 13.3.6

Разделим $6$ на $- 3$ .

$- 2$