Математический анализ Примеры

$- \cos^{2} (x)$

Этап 1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 6.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$