Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 12 x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{12 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 12 x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 lim_{x \to - 1} x^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{12 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 + 12 {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 12 + 12 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Добавим $- 12$ и $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{12 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{4} - x^{2}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3} + 12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 12 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $12$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - x^{2}]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{4} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - (2 x)}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{36 x^{2} + 24 x}{4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 36 x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2.3

Вынесем член $36$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{36 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 24 x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2.5

Вынесем член $24$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - 2 x}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 4 x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 2.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 2.8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x}$

Этап 2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{36 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 lim_{x \to - 1} x}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $36 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1$ и $4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $36 {(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) + 24 \cdot - 1}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $24 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (- 18 {(- 1)}^{2}) - 2 (- 12 \cdot - 1)$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{4 {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $- 2$ из $4 {(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 \cdot - 1}$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)}$

Этап 4.1.4.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (- 2 {(- 1)}^{3}) - 2 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Этап 4.1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1)}{- 2 (- 2 {(- 1)}^{3} - 1)}$

Этап 4.1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 18 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 18 \cdot 1 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 18$ на $1$ .

$\frac{- 18 - 12 \cdot - 1}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$\frac{- 18 + 12}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Этап 4.2.4

Добавим $- 18$ и $12$ .

$\frac{- 6}{- 2 {(- 1)}^{3} - 1}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{- 6}{- 2 \cdot - 1 - 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 6}{2 - 1}$

Этап 4.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{- 6}{1}$

Этап 4.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$- 6$