Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Этап 1

Перепишем $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ в виде $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.3.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 3.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Этап 3.1.1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- \sin (θ)$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.4.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.5

Вычтем $\cos (θ)$ из $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 3.1.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{- 2}$ и $g (θ) = \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 3.1.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 3.1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 3.1.3.7

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Этап 3.1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Изменим порядок множителей в $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.2

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 3.1.3.8.7

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Этап 3.1.3.8.8

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Этап 3.1.3.8.9

Применим правило умножения к $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.10

Сократим общий множитель $\cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ в числитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.10.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (θ)$ из $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.10.3

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.10.4

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.11

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.3.8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Этап 3.1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 3.1.5.3

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 3.1.6

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Этап 3.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Этап 3.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Этап 3.3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Этап 3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Этап 5.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Этап 5.1.1.3.2

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- \sin (θ)$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.4.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.5

Вычтем $\cos (θ)$ из $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Этап 5.1.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 5.1.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 5.1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Этап 5.1.3.7

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Этап 5.1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.8.1

Изменим порядок множителей в $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.2

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Этап 5.1.3.8.7

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Этап 5.1.3.8.8

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Этап 5.1.3.8.9

Применим правило умножения к $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.10

Сократим общий множитель $\cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.8.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ в числитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.10.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (θ)$ из $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.10.3

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.10.4

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.11

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.3.8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Этап 5.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Этап 5.1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 5.1.5.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 5.1.5.3

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 5.1.6

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Этап 5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Этап 5.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Этап 5.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Этап 5.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Этап 5.3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Этап 5.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Этап 5.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Так как левосторонний предел совпадает с правосторонним, предел равен $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$