Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{25} x^{3} - \frac{1}{5} x^{2} - x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{25} x^{3} - \frac{1}{5} x^{2} - x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{25} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{25} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{25} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{25} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{25} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{25}$ .

$\frac{3}{25} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{25}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{5} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{1}{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - 2 (\frac{1}{5}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{- 2}{5} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{5}$ и $x$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$ и $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{25}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2}}{25}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{3}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{2}}{25}$ по $x$ равна $\frac{3}{25} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{25} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{25} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{25}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{25} x + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25} x + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{6}{25}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{5}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{5}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} - \frac{2}{5} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} - \frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} - \frac{2}{5} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} - \frac{2}{5} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{6 x}{25} - \frac{2}{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{6 x}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{25} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{25} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{25} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{25}$ .

$\frac{3}{25} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{25}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{1}{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - 2 (\frac{1}{5}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{- 2}{5} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{5}$ и $x$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 = 0$

Этап 5.2

Каждый член в $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 = 0$ умножим на $25$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\frac{3 x^{2}}{25} - \frac{2 x}{5} - 1 = 0$ на $25$ .

$\frac{3 x^{2}}{25} \cdot 25 - \frac{2 x}{5} \cdot 25 - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{25} \cdot 25 - \frac{2 x}{5} \cdot 25 - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - \frac{2 x}{5} \cdot 25 - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{5}$ в числитель.

$3 x^{2} + \frac{- 2 x}{5} \cdot 25 - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 x}{5} \cdot (5 (5)) - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + \frac{- 2 x}{5} \cdot (5 \cdot 5) - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 1 \cdot 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$3 x^{2} - 10 x - 25 = 0 \cdot 25$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0$ на $25$ .

$3 x^{2} - 10 x - 25 = 0$

Этап 5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 25 = 0$

Этап 5.3.1.2

Запишем $- 10$ как $5$ плюс $- 15$

$3 x^{2} + (5 - 15) x - 25 = 0$

Этап 5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 5 x - 15 x - 25 = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 5 x) - 15 x - 25 = 0$

Этап 5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 5) - 5 (3 x + 5) = 0$

Этап 5.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 5$ .

$(3 x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 5.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 5) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{3}, 5$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{5}{3}, 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{6 (- \frac{5}{3})}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 6 (\frac{5}{3})}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.1.2

Объединим $- 6$ и $\frac{5}{3}$ .

$\frac{\frac{- 6 \cdot 5}{3}}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 6$ на $5$ .

$\frac{\frac{- 30}{3}}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.3

Разделим $- 30$ на $3$ .

$\frac{- 10}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $- 10$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10$ .

$\frac{5 (- 2)}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 5} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 5} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{5} - \frac{2}{5}$

Этап 9.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{5} - \frac{2}{5}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 - 2}{5}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{- 4}{5}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5}$

Этап 10

$x = - \frac{5}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{3} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3}) - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{3^{3}})) - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot (- \frac{5^{3}}{3^{3}}) - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot (- \frac{125}{3^{3}}) - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot (- \frac{125}{27}) - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.5

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{125}{27}$ в числитель.

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{- 125}{27} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.5.2

Вынесем множитель $25$ из $- 125$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{25 (- 5)}{27} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{25 \cdot - 5}{27} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5}{27} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.8

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{5})) \cdot \frac{5^{2}}{3^{2}} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.8.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{5})) \cdot \frac{5^{2}}{3^{2}} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{5}) \cdot \frac{5^{2}}{3^{2}} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{5}) \cdot \frac{5^{2}}{3^{2}} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.9

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{5}) \cdot \frac{25}{3^{2}} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{5}) \cdot \frac{25}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.12

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{25}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.12.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (5)}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - 1 \cdot \frac{5}{9} - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.13

Перепишем $- 1 (\frac{5}{9})$ в виде $- (\frac{5}{9})$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - (\frac{5}{9}) - (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.14

Умножим $- (- \frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5}{9} + 1 (\frac{5}{3}) + 5$

Этап 11.2.1.14.2

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5}{9} + \frac{5}{3} + 5$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Этап 11.2.2.5

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 - 5 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 - 15 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $5$ на $9$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 - 15 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $5$ на $27$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 - 15 + 45 + 135}{27}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вычтем $15$ из $- 5$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{- 20 + 45 + 135}{27}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 20$ и $45$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{25 + 135}{27}$

Этап 11.2.5.3

Добавим $25$ и $135$ .

$f (- \frac{5}{3}) = \frac{160}{27}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{160}{27}$ .

$y = \frac{160}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{6 (5)}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{30}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $30$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\frac{5 (6)}{25} - \frac{2}{5}$

Этап 13.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} - \frac{2}{5}$

Этап 13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} - \frac{2}{5}$

Этап 13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{5}$

Этап 13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 - 2}{5}$

Этап 13.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4}{5}$

Этап 14

$x = 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{1}{25} \cdot {(5)}^{3} - \frac{1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = \frac{1}{25} \cdot 125 - \frac{1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$f (5) = \frac{1}{25} \cdot (25 (5)) - \frac{1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5) = \frac{1}{25} \cdot (25 \cdot 5) - \frac{1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5) = 5 - \frac{1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (5) = 5 + \frac{- 1}{5} \cdot {(5)}^{2} - (5) + 5$

Этап 15.2.1.3.2

Вынесем множитель $5$ из ${(5)}^{2}$ .

$f (5) = 5 + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - (5) + 5$

Этап 15.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (5) = 5 + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - (5) + 5$

Этап 15.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (5) = 5 - 1 \cdot 5 - (5) + 5$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = 5 - 5 - (5) + 5$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = 5 - 5 - 5 + 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (5) = 0 - 5 + 5$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (5) = - 5 + 5$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (5) = 0$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{25} x^{3} - \frac{1}{5} x^{2} - x + 5$ .

$(- \frac{5}{3}, \frac{160}{27})$ — локальный максимум

$(5, 0)$ — локальный минимум

Этап 17