Математический анализ Примеры

$f (x) = x (4 - x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x (4 - x) d x$

Этап 3

Умножим $x (4 - x)$ .

$\int x \cdot 4 + x (- x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\int 4 \cdot x + x (- x) d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 x - (x^{1} x) d x$

Этап 4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 x - (x^{1} x^{1}) d x$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x - x^{1 + 1} d x$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 4 x - x^{2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x d x + \int - x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x d x + \int - x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x^{2} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$4 (\frac{1}{2}) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 10.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x (4 - x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$