Математический анализ Примеры

$y = x^{2 x}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2 x})$

Этап 2

Развернем $\ln (x^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$\ln (y) = 2 x \ln (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $2 x \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 3.2.5.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x))$

Этап 3.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y'}{y} = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Этап 3.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 + 2 \ln (x)$

Этап 3.2.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + 2$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (2 \ln (x) + 2) x^{2 x}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y' = (\ln (x^{2}) + 2) x^{2 x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \ln (x^{2}) x^{2 x} + 2 x^{2 x}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) x^{2 x} + 2 x^{2 x}$ .

$y' = x^{2 x} \ln (x^{2}) + 2 x^{2 x}$