Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{x} + x^{2} - x + C$